Continuidad de una Función con Singularidad Removible

Consideremos la función \( g(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1} \) y modifiquémosla para incluir el punto \( x = 1 \). Redefinimos la función como:

\[ g(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 1}{x - 1} & \text{si } x \neq 1 \\ 2 & \text{si } x = 1 \end{cases} \]

Verifiquemos la continuidad de esta función en \( x = 1 \).

1. Evaluar la función en \( x = 1 \):
\( g(1) = 2 \)

2. Calcular el límite de la función cuando \( x \) tiende a 1:
\[ \lim_{{x \to 1}} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = \lim_{{x \to 1}} \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = \lim_{{x \to 1}} (x + 1) = 2 \]

3. Verificar si el límite es igual al valor de la función en \( x = 1 \):
Dado que \( g(1) = 2 \) y \( \lim_{{x \to 1}} g(x) = 2 \), podemos concluir que \( g(x) \) es continua en \( x = 1 \).