Continuidad de una Función Definida por Partes

Consideremos la función definida por partes \( f(x) \) dada por:

\[ f(x) = \begin{cases} x^2 - 1 & \text{si } x \leq 1 \\ 2x - 2 & \text{si } x > 1 \end{cases} \]

Verifiquemos la continuidad de esta función en \( x = 1 \).

1. Evaluar la función en \( x = 1 \):
\( f(1) = 1^2 - 1 = 0 \)

2. Calcular el límite de la función cuando \( x \) tiende a 1:
Límite por la izquierda (\( x \to 1^- \)): \( \lim_{{x \to 1^-}} (x^2 - 1) = 1 - 1 = 0 \)
Límite por la derecha (\( x \to 1^+ \)): \( \lim_{{x \to 1^+}} (2x - 2) = 2 \cdot 1 - 2 = 0 \)

3. Verificar si los límites laterales son iguales al valor de la función en \( x = 1 \):
Dado que \( f(1) = 0 \), \( \lim_{{x \to 1^-}} f(x) = 0 \) y \( \lim_{{x \to 1^+}} f(x) = 0 \), podemos concluir que \( f(x) \) es continua en \( x = 1 \).