Continuidad de una Función Logística

Consideremos la función logística \( g(x) = \frac{1}{1 + e^{-x}} \). Verifiquemos la continuidad de esta función para todo \( x \in \mathbb{R} \).

1. Evaluar la función para cualquier \( x \):
Para cualquier \( x \in \mathbb{R} \), \( g(x) \) está bien definida y no presenta discontinuidades explícitas.

2. Calcular el límite de la función para \( x \to \infty \) y \( x \to -\infty \):
\[ \lim_{{x \to \infty}} g(x) = \frac{1}{1 + e^{-\infty}} = \frac{1}{1 + 0} = 1 \]
\[ \lim_{{x \to -\infty}} g(x) = \frac{1}{1 + e^{\infty}} = \frac{1}{1 + \infty} = 0 \]

3. Verificar la continuidad en todo \( \mathbb{R} \):
Dado que \( g(x) \) no tiene puntos de discontinuidad para ningún \( x \in \mathbb{R} \), y los límites en los extremos son finitos y bien definidos, podemos concluir que \( g(x) \) es continua en \( \mathbb{R} \).