Límites y Continuidad

Definición de Límite

El concepto de límite es fundamental en el cálculo. Cuando hablamos del límite de una función, nos referimos al valor que la función se aproxima a medida que la variable independiente se acerca a un punto específico. Formalmente, el límite de f(x) cuando x tiende a a es L (escrito como lim_x→a f(x) = L) si, para cualquier valor pequeño positivo ε, existe un valor positivo δ tal que, para todos los x dentro del intervalo (a - δ, a + δ) excluyendo a, f(x) está dentro del intervalo (L - ε, L + ε).

Límites Laterales

Los límites laterales son una extensión del concepto de límite, donde consideramos cómo se comporta la función cuando nos acercamos al punto a desde un solo lado.

• Límite por la derecha (lim_x→a⁺ f(x)): Este es el valor al que se aproxima f(x) cuando x se acerca a a desde valores mayores que a.
• Límite por la izquierda (lim_x→a⁻ f(x)): Este es el valor al que se aproxima f(x) cuando x se acerca a a desde valores menores que a.

Para que el límite en x = a exista, los límites laterales deben ser iguales. Si los límites laterales difieren, entonces el límite en x = a no existe.

Teoremas de Límites

Los teoremas de límites son herramientas esenciales que nos permiten calcular límites de funciones de manera más sencilla y efectiva. Algunos de los teoremas más importantes son:

• Teorema de la suma: lim_x→a [f(x) + g(x)] = lim_x→a f(x) + lim_x→a g(x). Este teorema nos dice que el límite de una suma es la suma de los límites.
• Teorema del producto: lim_x→a [f(x) · g(x)] = lim_x→a f(x) · lim_x→a g(x). Similarmente, el límite de un producto es el producto de los límites.
• Teorema del cociente: lim_x→a [f(x) / g(x)] = (lim_x→a f(x)) / (lim_x→a g(x)), siempre que lim_x→a g(x) ≠ 0. Esto significa que el límite de un cociente es el cociente de los límites, siempre que el denominador no sea cero.
• Teorema del sándwich (o del encajonamiento): Si h(x) ≤ f(x) ≤ g(x) y lim_x→a h(x) = lim_x→a g(x) = L, entonces lim_x→a f(x) = L. Este teorema es útil cuando f(x) está "atrapada" entre dos funciones que convergen al mismo límite.

Continuidad y Discontinuidades

Una función es continua en un punto si no presenta interrupciones en ese punto. Formalmente, una función f(x) es continua en x = a si se cumplen tres condiciones:

1. f(a) está definida.
2. lim_x→a f(x) existe.
3. lim_x→a f(x) = f(a).

Cuando alguna de estas condiciones no se cumple, se produce una discontinuidad. Existen varios tipos de discontinuidades:

• Discontinuidad removible: Ocurre si lim_x→a f(x) existe, pero no es igual a f(a). Es como un pequeño "bache" en la función que podría ser eliminado redefiniendo f(a).
• Discontinuidad de salto: Sucede cuando los límites laterales existen pero no son iguales. La función "salta" de un valor a otro en x = a.
• Discontinuidad infinita: Ocurre cuando f(x) tiende a infinito al acercarse a a. La función crece sin límites en ese punto.
• Discontinuidad esencial: Aquí, los límites laterales no existen o no son finitos. Es la forma más "grave" de discontinuidad.

Estos conceptos son fundamentales para entender cómo se comportan las funciones y para poder analizarlas rigurosamente en el contexto del cálculo y el análisis matemático.